\subsection{Modèles de Malthus et Verhulst}

Le modèle de Malthus est décrit par l'équation $\frac{dN(t)}{dt} = bN(t) - dN(t)$ avec $(b,d) > 0$. Ce modèle permet de modéliser l'évolution d'une population d'une espèce dans le temps. Où $b$ correspond au naissances dans la population, $d$ correspond au morts dans la population dans un intervalle de temps. \\ \\
\indent Le modèle de Verhulst est décrit par l'équation $\frac{dN(t)}{dt} = \gamma N(t) (1 - \frac{N(t)}{k})$ avec $(\gamma,k)>0$. Ce modèle permet également de modéliser l'évolution d'une population. Avec
$\gamma$ qui correspond à la différence entre le nombre de naissances et le nombre de morts, $k$ qui correspond à la limite théorique maximum de la population.

\begin{figure}[h!]
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\includegraphics[scale=0.37]{img/Malthus_birth_death_neg.png}
\includegraphics[scale=0.37]{img/Malthus_birth_death_pos.png}
\caption{Méthode de Malthus dans le cas $b>d$, et dans le cas inverse}
\label{malthus-gamma}
\end{figure}


La solution à l'équation de Malthus est : $y : x\rightarrow N(0)e^{(a-b)x}$. Ceci correspond parfaitement à ce que l'on obtient avec différentes conditions initiales : soit une exponentielle croissante, soit une exponentielle décroissante.

Pour la méthode de Verhulst, on part avec différentes conditions initiales en changeant uniquement le $k$ correspondant à la population maximum. Ici, nous avons une solution plus complexe qui est : $N(t)=N(0)\frac{Ke^{rt}}{K+No(e^{rt}-1)}$

\begin{figure}[H]
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\includegraphics[scale=0.37]{img/Verhulst.png}
\caption{Méthode de Verhulst}
\label{verhulst}
\end{figure}

Encore une fois nous avons deux méthodes qui ne considèrent l'évolution que d'une seule population. Il serait intéressant de voir les résultats avec une méthode permettant de prendre en compte l'évolution de deux populations de différentes espèces.

\subsection{Modèle de Lotka-Volterra}

Avec ce modèle, nous pouvons considérer l'évolution de deux populations (antagonistes) au cours du temps, en fonction des interactions s'opérant entre elles. 
Deux constantes pour chaque population sont nécessaires : 
\begin{itemize}
\item a = taux de reproduction des proies en l'absence de prédateurs
\item b = taux de mortalité des proies due aux prédateurs
\item c = taux de reproduction des prédateurs en fonction des proies mangées
\item d = taux de mortalité des prédateurs en l'absence de proies
\end{itemize}

L'évolution des deux populations est alors représentée par le système d'équations suivant : 
$\frac{\partial x}{\partial t} = x(a - by)$
\\
$\frac{\partial y}{\partial t} = y(cx - d)$

\begin{figure}[H]
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\includegraphics[scale=0.37]{img/ProiesSupPred.png}
\includegraphics[scale=0.37]{img/ConstSolLotka.png}
\caption{Méthode de Lotka, avec condition d'équilibre, et solution constante}
\label{lotka}
\end{figure}

\begin{wrapfigure}[13]{r}{8cm}
\vspace{-30pt}
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\includegraphics[scale=0.37]{img/PredFoncProies.png}
\caption{Nombre de prédateurs en fonction du nombre de proies}
\label{predfoncproies}
\end{wrapfigure}

\vspace{20pt}
Il y a deux points singuliers, qui correspondent aux solutions constantes : 
\begin{itemize}
\item Equilibre instable $(0,0)$. Aucune espèce n'existe, aucun intérêt.
\item Equilibre stable $(\frac{c}{d}, \frac{a}{b})$.
\end{itemize}

Nous pouvons ensuite représenter le nombre de prédateurs en fonction du nombre de proies : \\
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